MIT 线性代数第31讲：变更基与图像压缩
$$ \bbox[yellow,5px]
{
通过假定相互正交的向量构成正交矩阵，代替计算特征值，减少了计算量，获得了与原始矩阵接近的表达。
}
$$
有损压缩
标准基：
傅里叶基：
JPEG
图像被分解为8x8的块
每个块有64个像素，64个系数，64个基向量，我们在64维空间里用傅里叶向量变更基，
64个像素 P->（无损）64个系数->(有损) $\hat C$(含有不少0)
=> $\hat x = \Sigma \hat C_i V_i$
视频：
图像的序列，一张图像和上一张非常相似
图像之间高度相关，可以由上一张图像预测下一张。
Wavelets （小波）
取一行8个像素：
$P=C_1 W_1 + … + C_8 W_8$: $W_i是上图的Wavelets向量。
已知P和Wi，如何求解Ci？
$$
P=WC \\
C=W^{-1}P
$$
好的基矩阵的要求： 1. 快：乘方和求逆快。 2. Wavelets矩阵，每个向量都相互正交，因此$W^{-1}=W^T$
- 比较少的基即可以重新生成压缩后的原始图像
基的变更
设W为新的基向量。
x = Wc
假设有现象变换矩阵T，对于u1,…, u8, 经T变换后得矩阵A
对于w1, …, w8, 经T变换后得到B。
因此，A与B相似，故有B=$M^{-1}AM$
A是什么样的矩阵：
假设使用基v1, …, v8,
我们可以从、T(v1), …, T(v8)推断T
因为每个x = c1 v1 + … + c8v8
于是 T(x) = c1T(v1)+ … + c8T(v8)
$$
T(v_1)= a_{11}v1 + ... + a_{81}v_8 \\
A =
\begin {bmatrix}
a_{11} & a_{21} & ... \\
... & ... & ... \\
a_{18} & a_{28} & ...
\end{bmatrix}
$$
假设我们的基是特征向量 $T(v_i)= \lambda_i v_i$, 那么A是什么样的矩阵？
输入是v1，输出是$\lambda_1v1$
输入是v2， 输出是$\lambda_2v2$…
因此A是主元为$\lambda_i$的对角矩阵
这样的矩阵是最佳矩阵， 但计算特征值需要大量计算。
因此我们选用便宜且接近的矩阵，比如小波矩阵那样。
