行列式 det A

det I=1,det P = 1 或 -1,t, a+a’, …. delt AB = (det A)(det B), $det \; A^T = det \; A$

属性

  1. det I = 1

    1. $\begin{vmatrix}1 & 0 \\\ 0 & 1 \end{vmatrix}= 1$

  2. 交互行列式的行会改变行列式的符号

    1. 对于置换矩阵P， det P = 1 或 -1. 例如：$\begin{vmatrix}0 & 1 \\\ 1 & 0 \end{vmatrix}= -1$
    1. ### $\begin{vmatrix}ta & tb \\\ c & d \end{vmatrix} = t\begin{vmatrix}a & b \\\ c & d \end{vmatrix} $
    2. $\begin{vmatrix}a+a’ & b+b’ \\\ c & d \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a & b \\\ c & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix}a’ & b’ \\\ c & d \end{vmatrix} $

  4. 如果两列相等， det A =0：根据第2条推论。交互行会改变行列式符号。

  5. $row_k - l \times row_i$不改变det A。

    1. $\begin{vmatrix}a & b \\\ c-la & d-lb \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a & b \\\ c & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix}a & b \\\ -la & -lb \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}a & b \\\ c & d \end{vmatrix} - l\begin{vmatrix}a & b \\\ a & b \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}a & b \\\ c & d \end{vmatrix}$

  6. 包含0行的矩阵 det A = 0 （可得t = 0， 依据3.1， det A = 0）

  7. 上三角矩阵U，`$det\;U = \prod u_{ii} ### ; det U为对角线的乘积即主元的乘积。

    1. 证明：消元后只剩主元。根据3.1， 变成dn…d2d2 I

  8. det A = 0, 如果A歧义（singular）。如果A可逆，$det A \ne 0$

    1. 如果A歧义，通过消元，必然有全为0的行存在。。。
    2. 如果A可逆则消元可得U可得对角线矩阵D可得delta=d1d2d3…

  9. det AB = (det A)(det B)

    1. $A^{-1}A = I,得到（detA^{-1})(detA)=1, 得到det A^{-1} = \frac{1}{det A}$
      1. $A\begin{bmatrix} 2 & 0 \\\\\\ 0 & 3 \end{bmatrix} 得到A^{-1} = \begin{bmatrix}1/2 & 0 \\\\\\ 0 & 1/3 \end{bmatrix}$
      2. $det \; 2A = 2^n det \; A$

  10. $det \; A^T = det \; A$, 所以交换列也会改变det A的符号， 或写成$\vert A^T \vert = \vert A \vert$

    1. 证明： $$\vert U^T L^T\vert = \vert LU \vert \\\ \vert U^T\vert \; \vert L^T \vert = \vert L \vert \; \vert U \vert \\\ L为下三角矩阵， del L = 1$$