叉积的运算、性质、和几何理解

向量点积 $a \cdot b$

​ $$a \cdot b = ab\,cos\theta$$

​ $$a \cdot b = \sum_{i=0}^na_ib_i$$

  • 向量内积的几何解释就是一个向量在另一个向量上的投影的积，也就是同方向的积

  • 特别的，如果一个向量如a是某个坐标轴的单位坐标向量，那么，两个向量的点积$a \cdot b$就是向量b在此坐标轴上的坐标值。这个结论非常重要，这是傅立叶分析的理论基础。

  • 其他几何意义：从内积数值上我们可以看出两个向量的在方向上的接近程度。当内积值为正值时，两个向量大致指向相同的方向（方向夹角小于90度）；当内积值为负值时，两个向量大致指向相反的方向（方向角大于90度）；当内积值为0时，两个向量互相垂直

  • 向量内积的生活解释：单价向量乘以数量向量，得到总价格

  • 向量内积的物理解释：一个斜坡上用力F斜上拉一个物体，位移为S（没有重力的情况下），那么这个力F所作的功

​ $$W = F_sS = FScos\theta$$

向量叉积 $ a\times b$

叉积$a \times b$是与a 和b都垂直的向量c。其方向由右手定则决定，模长等于以两个向量为边的平行四边形的面积。

img

叉积可以定义为：

$$a \times b = \Vert a \Vert \Vert b \Vert sin(\theta) $$

其中$\theta$表示a 和b在它们所定义的平面上的夹角（$ 0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ $)。$\Vert a \Vert$和$\Vert b \Vert$是向量a和b的模长，而n则是一个与 a、b所构成的平面垂直的单位向量，方向由右手定则决定。

叉积的计算

右手坐标系中，基向量i, j, k满足 $$ i \cdot j = k \\
j \cdot k = i \\
k \cdot i = j $$ 根据反交换律可以得出： $$ j \cdot i = -k \\
k \cdot j = -i \\
i \cdot k = -j $$

矩阵表示

$$ u \times v = \begin{bmatrix} i & j & k \\
u_1& u_2 & u_3 \\
v_1 & v_2 & v_3 \end{bmatrix} $$

这个行列式可以使用萨吕法则或拉普拉斯展开计算。使用萨吕法则可以展开为：

根据萨呂法则确定u和v的叉积

使用拉普拉斯展开可以沿第一行展开为：

(参考：维基百科)