向量运算与理解
线性空间计算的基本法则与代数、几何、物理理解。
线性空间
设F是一个域。一个F上的向量空间是一个集合V的两个运算：
向量加法: V + V → V, 记作 v + w, ∃ v, w∈V
标量乘法: F × V → V, 记作 a·v, ∃a∈F, v∈V
符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V)：
- 向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w；
- 向量加法交换律：v + w = w + v；
- 向量加法的单位元：V 里有一个叫做零向量的 0，∀ v ∈ V , v + 0 = v；
- 向量加法的逆元素：∀v∈V, ∃w∈V，使得 v + w = 0；
- 标量乘法分配于向量加法上：a(v + w) = a v + a w；
- 标量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v；
- 标量乘法一致于标量的域乘法: a(b v) = (ab)v；
- 标量乘法有单位元: 1 v = v, 这里 1 是指域 F 的乘法单位元。
同时有：
V 闭合在向量加法下：v + w ∈ V
V 闭合在标量乘法下：a v ∈ V
（参见 百度百科）
线性函数：
- 几何意义：过原点的直线、平面、超平面
代数意义：可加性、比例性
可加性（线性的可加性既是没有互相激励的累加，也是没有互相内耗的累加）
比例性（比例性又名齐次性说明没有初始值，比如电路，没有输入信号时输出也
为零，有几倍的输入量刚好就有几倍的输出量，增量是倍数关系，存量也是倍数关系）
几何意义：m=n为直线，否则为平面或者超平面
写成 y = f(x) = kX
（参见《什么是线性代数》）
向量的基本几何意义
自由向量：
大小和方向（物理：矢量）
向量的数学表示：
向量加法
向量加法的几何意义：
平行四边形法则、三角形法则
向量加法的物理意义：
船过河问题：船头的位移（马达动力）、流水影响的位移（水速）、真正的位移
向量点积 $a \cdot b$
$$a \cdot b = ab\,cos\theta$$
$$a \cdot b = \sum_{i=0}^na_ib_i$$
向量内积的几何解释就是一个向量在另一个向量上的投影的积，也就是同方向的积
特别的，如果一个向量如a是某个坐标轴的单位坐标向量，那么，两个向量的点积$a \cdot b$就是向量b在此坐标轴上的坐标值。这个结论非常重要，这是傅立叶分析的理论基础。
其他几何意义：从内积数值上我们可以看出两个向量的在方向上的接近程度。当内积值为正值时，两个向量大致指向相同的方向（方向夹角小于90度）；当内积值为负值时，两个向量大致指向相反的方向（方向角大于90度）；当内积值为0时，两个向量互相垂直
向量内积的生活解释：单价向量乘以数量向量，得到总价格
向量内积的物理解释：一个斜坡上用力F斜上拉一个物体，位移为S（没有重力的情况下），那么这个力F所作的功
$$W = F_sS = FScos\theta$$
向量叉积 $ a\times b$
叉积$a \times b$是与a 和b都垂直的向量c。其方向由右手定则决定，模长等于以两个向量为边的平行四边形的面积。
叉积可以定义为：
$$a \times b = \Vert a \Vert \Vert b \Vert sin(\theta) $$
其中$\theta$表示a 和b在它们所定义的平面上的夹角（$ 0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ $)。$\Vert a \Vert$和$\Vert b \Vert$是向量a和b的模长，而n则是一个与 a、b所构成的平面垂直的单位向量，方向由右手定则决定。
叉积的计算
右手坐标系中，基向量i, j, k满足
$$
i \cdot j = k \\
j \cdot k = i \\
k \cdot i = j
$$
根据反交换律可以得出：
$$
j \cdot i = -k \\
k \cdot j = -i \\
i \cdot k = -j
$$
矩阵表示
$$
u \times v =
\begin{bmatrix}
i & j & k \\
u_1& u_2 & u_3 \\
v_1 & v_2 & v_3
\end{bmatrix}
$$
这个行列式可以使用萨吕法则或拉普拉斯展开计算。使用萨吕法则可以展开为：
根据萨呂法则确定u和v的叉积
使用拉普拉斯展开可以沿第一行展开为：
(参考：维基百科)
